Le paradoxe des anniversaires, c’est quoi ?

On appelle le paradoxe des anniversaires le fait qu’il est plus probable de trouver, au sein d’un groupe, deux personnes qui sont nées le même jour du même mois que ce que l’on peut intuitivement penser. En réalité ce n’est pas un paradoxe au sens mathématique, car les probabilités nous prédisent très bien la situation. Mais c’est contre-intuitif à cause du grand nombre de jours qu’il y a dans une année.

Une probabilité, c’est quoi ?

Comment calcule-t-on une probabilité ? Commençons avec un exemple simple : sur un dé à six faces, si je souhaite faire un 4 en un coup, j’ai 1 chance sur 6 de gagner. Une face souhaitée parmi les 6 existantes. Soit une probabilité de 1/6 = 0,17 d’y arriver. En d’autres termes, 0,17 x 100 = 17% de chance de succès, ce qui signifie que sur 100 lancers, 17 seront théoriquement gagnants.

La probabilité, c’est le nombre d’évènements que l’on souhaite, divisé par le nombre total d’évènements possibles. De manière complémentaire on peut aussi dire que l’on a 100% - 17% = 83% de risque de ne pas avoir un 4 quand on lance un dé. Maintenant, revenons-en à nos anniversaires.

Regardons cela simplement

Pour simplifier les calculs nous allons plutôt regarder l’inverse de ce que l’on recherche, c’est-à-dire la probabilité d’avoir deux personnes avec un jour d’anniversaire différent au sein d’un groupe.

Imaginons une personne qui prépare sa fête d’anniversaire. Pour simplifier, disons que notre brave organisateur est né un 1^er janvier. Avant l’arrivée de ses invités, il a 0% de chance de trouver quelqu’un avec la même date d’anniversaire que lui, vu qu’il est encore seul chez lui ! Soit 100% de chance d’avoir une date d’anniversaire différente de quelqu’un d’autre. Facile jusque-là.

 La fête est toute pourrie : il n’y a qu’un invité

Le premier invité arrive en avance. Pour que l’organisateur et son invité n’aient pas le même jour de naissance, il faut que l’invité soit né n’importe lequel des 364 jours de l’année autres que le 1^er janvier. La probabilité que les deux compères n’aient pas leur anniversaire en même temps est alors de (364 = nombre de jours souhaités ; 365 = nombre de jours possibles). A l’inverse on peut donc dire que pour avoir la même date d’anniversaire, on aurait 100-99,7, soit 0,3% de chance que cela se produise.

Le deuxième gens arrive, il y a un total de 3 personnes

Arrive alors un deuxième convive, car la fête n’est pas si nulle que ça. Pour que ce troisième convie ait un jour d’anniversaire différent des deux autres, il faut que ce jour tombe parmi les 363 jours restants. Le calcul qui est effectué pour connaître cette nouvelle probabilité doit prendre en compte la probabilité calculée pour les convives précédents (on appelle ça une conjonction des évènements), soit le calcul 1^er convive x 2^ème convive x 100 (pour convertir la probabilité en %):

Pour chaque nouveau convive qui arrive la probabilité que son jour d’anniversaire ne corresponde à celui d’aucune des personnes déjà présentes diminue. Ainsi, au bout de la 29^ème sonnerie de la porte d’entrée (ce qui fait 30 personnes avec l’hôte en admettant que tous les invités soient arrivés séparément), la probabilité tombe à 30%. Quand cela se produit, ce n’est donc pas si extraordinaire que ça !
Si on généralise le calcul, voilà ce que ça donne pour un nombre n de personnes :

Et maintenant on retourne tout ça

Bon c’est cool tout ça mais en fait nous on cherche à connaître la probabilité d’avoir deux personnes avec un jour d’anniversaire identique ! Pour cela rien de plus simple il suffit de tout mélanger dans un sac, thermostat 7 pendant 3 heures. C’est-à-dire faire ça (mais c’est juste pour frimer vous pouvez télécharger le fichier de calcul ici) :

Et avec cette belle formule, nous pouvons établir le graphique suivant qui nous montre qu’à partir de seulement 60 personnes réunies, on a presque 100% de chance d’avoir deux personnes nées le même jour du même mois ! Explication. Pour contourner le biais causé par notre intuition, il faut se représenter chaque convive formant une « paire » avec chacun des autres convives. Ainsi s’il y a 5 personnes, il y a 10 paires d’anniversaires possibles. Et autant de possibilités d’avoir une paire d’anniversaires identiques.

Phosphoré par : Gontier Adrien, Jaeger Catherine

Mots clefs : statistiques, anniversaire, paradoxe, hasard

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